Süreklilik

Hayır, süreçlerin sürdürülebilirliği değil, fonksiyonların sürekliliği bugünkü konumuz. Temel derslere geri dönüp bakınca, lisans eğitiminde bazı konuları iyice anlamadan geçtiğimiz ortaya çıkıyor. Süreklilik de böyle bir kavram. İki örnekle anlatmaya çalışacağım.

x^n-1 fonksiyonunun türevi her n için tanımlı. Ama iş türevin tersine gelince, 1/x için belirsiz integral beklenmedik şekilde logaritma çıkıyor. Acaba neden n=0 farklı bir rejim? Bu farklı davranış xⁿ fonksiyonundan türetilebilir mi?

x^n-1 fonksiyonunun 1'den herhangi bir pozitif a sayısına kadar integrali için iki farklı formül var:

f(a, n) n'nin sürekli bir fonksiyonu ise, n parametresi sıfıra yaklaşırken iki ifadenin eşit olması gerekir:

Bu şekilde yazınca hiç de şaşırtıcı değil, çünkü bu ifade, a^x fonksiyonunun x = 0 noktasındaki türevi! Yani xⁿ fonksiyonundan başlayıp a^x fonksiyonunun türevi ile logaritmaya ulaşmış olduk.


İkinci örnek basit bir diferansiyel denklem: y' + y = e^-kt, y(0) = 8
Bu denklemi sağlayan y(t) fonksiyonu için iki ayrı çözüm şekli var:

a) k = 1 ise çözüm üstel fonksiyonun lineer bir ifade ile çarpımı:
y(t) = e^-t (8 + t)

b) k = 1 değilse çözüm iki farklı üstel fonksiyonun toplamı:
y(t) = A e^-t + B e^-kt

Çok farklı iki ifade bulduk ama k parametresi 1'e yaklaşırken iki çözümün yaklaşık eşit olması gerekir. Mesela k = 1.01 için, A ve B katsayıları denklemden ve başlangıç şartından bulunabilir:
y(t) = 108 e^-t − 100 e^-1.01t
Bu ifade şöyle yazılırsa (a) çözümüne yakın olduğu görülür:
y(t) = 8 e^-t + 100 e^-t (1 − e^-0.01t)
Burada e^-0.01t yerine yaklaşık değeri olan 1 − 0.01t koyunca yukarıdaki (a) çözümüne hemen ulaşılır.

Aynı sonuç, e^-xt fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevi olarak da bulunabilir. Yani e^-xt fonksiyonunun t'ye göre türevinden başlayıp aynı fonksiyonun x'e göre türevine ulaşmış olduk.


Meraklı okuyucu için üçüncü bir örnek verelim:
y'' + 2y' + cy = 0, y(0) = 2, y'(0) = 0

a) c=1.00 ise y(t) = 2 e^-t (1 + t)
b) c=0.99 ise y(t) = 11 e^-0.9t − 9 e^-1.1t
c) c=1.01 ise y(t) = 2 e^-t (cos 0.1t + 10 sin 0.1t)

(b) ve (c)deki iki farklı çözüm, c parametresi 1'e yaklaşırken neden (a) çözümüne yaklaşır?

Mezunumuzdan

Böyle bir mektup alınca, 40 senelik eğitim çabalarının meyvesi diyerek seviniyorum.

From: Hande Döngel Altekin
To: Akif Eyler
Date: Feb 18, 2017 at 20:10

Lisans zamaninda pek caliskan oldugumu soyleyemem, fakat simdi Amerikan egitiminin gerektirdigini yapiyorum. Keske 10 sene once bunu anlasaydim, simdi pismanim. Burda 2.30 ortalamaya anormal gozuyle bakiliyor.

Turkiye’de neden oyle oluyor, birbirimizi tembellige mi alistiriyoruz. Gerci ogreniyordum, mantigi aliyordum ama fazla not pesinde kosmuyordum. Turkiyede 85 alinca cok seviniyordum, burda begenmiyorum. Burda farkli olarak yaptigim ve yapmak zorunda oldugum: her hafta dersten once unitenin ozetini cikararak calisiyorum. Cunku herkes oyle yapiyor. Tam gun iste calisip cocuklari olmasina ragmen bir de derse calisip geliyorlar. Hoca da calisilmis olarak varsayip detaylari vererek, mantigini pekistiyor, ders sonunda quiz yapiyor veya bir case isleniyor. Calisip gitmek gerekiyor. Yoksa anlamiyorsun. Gecen donem bir hocanin dersinde quizler sayesinde bu tempoya alistim bu donem o yuzden rahat ediyorum. Ayiptir soylemesi 4.00 ortalama yaptım.

Genc arkadaslar "ben zaten master yapmayacagim ortalama bana gerekli degil" demesinler. Annem demisti; "benim zamanimda lise mezunu olmak yeterdi. Universite okumak ekstra gibi gozukurdu. Simdi normal olan universite mezunu olmak, ben geride kaldim. O yuzden sen master yapmalisin. Ileride gerekecek” Ben dinlememistim ilk mezun oldugumda ama master artik sart, 30 yasinda mastera basladim.

Hande'nin yazdıkları beni uzun uzun düşündürdü. Farklı okullarda yıllardır verdiğim Automata ve Simulation derslerini Amerika'daki benzeri derslerle kıyasladım. Aynı kitapları okutuyoruz, aynı programı izliyoruz ama sonuç aynı olmuyor. Neden? Çünkü aynı ağırlıkta ödevler veremiyoruz, benzer zorlukta sınavlar yapamıyoruz. Bir dönemde 3-4 ödev bile çok geliyor buradaki öğrenciye. Sınav derseniz, derste anlattığımız konuyu bile sınavda geri alamazken, her sınavda orijinal, kitap dışı soruları kime, nasıl soracağız?

Örnek olarak, MIT'deki Automata dersinin 2006 sınavları ile FSMVÜ'de aynı dersin 2016 sınavını kıyaslayabilirsiniz. Bu nedenle iki taraftaki eğitimin kalitesi aynı olamıyor. Çalışma alışkanlıkları çok farklı.