Süreklilik
Hayır, süreçlerin sürdürülebilirliği değil, fonksiyonların sürekliliği bugünkü konumuz. Temel derslere geri dönüp bakınca, lisans eğitiminde bazı konuları iyice anlamadan geçtiğimiz ortaya çıkıyor. Süreklilik de böyle bir kavram. İki örnekle anlatmaya çalışacağım.
xn-1 fonksiyonunun türevi her n için tanımlı. Ama iş türevin tersine gelince, 1/x için belirsiz integral beklenmedik şekilde logaritma çıkıyor. Acaba neden n=0 farklı bir rejim? Bu farklı davranış xn fonksiyonundan türetilebilir mi?
xn-1 fonksiyonunun 1'den herhangi bir pozitif a sayısına kadar integrali için iki farklı formül var:
İkinci örnek basit bir diferansiyel denklem: y' + y = e-kt, y(0) = 8
Bu denklemi sağlayan y(t) fonksiyonu için iki ayrı çözüm şekli var:
a) k = 1 ise çözüm üstel fonksiyonun lineer bir ifade ile çarpımı:
y(t) = e-t (8 + t)
b) k = 1 değilse çözüm iki farklı üstel fonksiyonun toplamı:
y(t) = A e-t + B e-kt
Çok farklı iki ifade bulduk ama k parametresi 1'e yaklaşırken iki çözümün yaklaşık eşit olması gerekir. Mesela k = 1.01 için, A ve B katsayıları denklemden ve başlangıç şartından bulunabilir:
y(t) = 108 e-t − 100 e-1.01t
Bu ifade şöyle yazılırsa (a) çözümüne yakın olduğu görülür:
y(t) = 8 e-t + 100 e-t (1 − e-0.01t)
Burada e-0.01t yerine yaklaşık değeri olan 1 − 0.01t koyunca yukarıdaki (a) çözümüne hemen ulaşılır.
Aynı sonuç, e-xt fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevi olarak da bulunabilir. Yani e-xt fonksiyonunun t'ye göre türevinden başlayıp aynı fonksiyonun x'e göre türevine ulaşmış olduk.
Meraklı okuyucu için üçüncü bir örnek verelim:
y'' + 2y' + cy = 0, y(0) = 2, y'(0) = 0
a) c=1.00 ise y(t) = 2 e-t (1 + t)
b) c=0.99 ise y(t) = 11 e-0.9t − 9 e-1.1t
c) c=1.01 ise y(t) = 2 e-t (cos 0.1t + 10 sin 0.1t)
(b) ve (c)deki iki farklı çözüm, c parametresi 1'e yaklaşırken neden (a) çözümüne yaklaşır?
